Mathematik

Krokodil	Behauptung: Ein Krokodil ist länger als breit. Beweis: Man betrachte ein Krokodil. 1. Es ist oben lang und unten lang, aber nur oben grün. Also ist ein Krokodil länger als es grün ist. 2. Es ist grün entlang Länge und Breite, aber nur breit entlang der der Breite. Also ist ein Krokodil grüner als breit. Aus 1. und 2. folgt: Das Krokodil ist länger als breit.
Katze mit neun Schwänzen	Behauptung: Eine Katze hat neun Schwänze. Beweis: Keine Katze hat acht Schwänze. Eine Katze hat einen Schwanz mehr als keine Katze. Daher hat eine Katze neun Schwänze, q.e.d.
Augenfarbe von Katzen	Behauptung: Alle Katzen haben die gleiche Augenfarbe Beweis: Für n=1 ist die Behauptung offensichtlich richtig. Wir nehmen jetzt an, das je n Katzen die gleiche Augenfarbe haben, und beweisen, dass dies auch für je n+1 Katzen gilt. Wir nehmen n+1 willkürlich ausgewählte Katzen und nummerieren sie. Nach der Induktionsvoraussetzung haben die Katzen mit den Nummern 1 bis n die gleiche Augenfarbe und auch die n Katzen mit den Nummern 2 bis n+1. Zu beiden Mengen gehört z.B. die Katze Nr. 2, also haben alle n+1 Katzen die gleiche Augenfarbe. q.e.d.
Der Papst ist ein Außerirdischer	Behauptung: Der Papst ist ein Außerirdischer. Beweis: Wenn ein Individuum ein Mensch ist, dann ist es wahrscheinlich nicht der Papst (Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 1/ 6000000000.) Johannes Paul II ist der einzige Papst. Dann folgt, dass Johannes Paul II ist ziemlich sicher kein Mensch ist. Wenn man diese Argumentation weiter verfolgt, gelangt man außerdem zu folgender Aussage: Behauptung: Johannes Paul II ist nicht der Papst. Beweis: Wenn ein Individuum ein Mensch ist, dann ist es wahrscheinlich nicht der Papst (Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 1/ 6000000000.) Johannes Paul II ist ein Mensch. Dann folgt, dass Johannes Paul II so gut wie sicher nicht der Papst ist. Weiter gelangt man auch zu folgender Aussage: Behauptung: Nur wer nicht Lotto spielt, kann sicher gewinnen! Beweis: Wenn Sie Lotto spielen, gewinnen Sie wahrscheinlich nichts (Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 1/14000000) Sie haben im Lotto gewonnen. Dann haben sie also höchstwahrscheinlich nicht Lotto gespielt.
Alle natürlichen Zahlen sind interessant.	Behauptung: Alle natürlichen Zahlen sind interessant. Beweis: Angenommen, es wäre nicht so. Dann existiert eine kleinste natürliche Zahl, die nicht interessant ist. Diese Zahl ist offensichtlich interessant, was der Annahme, dass sie nicht interessant ist, widerspricht. Dieses ist ein Widerspruch, also muss die Annahme falsch sein, womit die Behauptung gezeigt ist.
Mathematiker sind beschränkt.	Behauptung: Mathematiker sind konvergent. Beweis: Mathematiker sind monoton und beschränkt. q.e.d.
	Zum Beweis: Kürze das n im Zähler und Nenner.
Elefant und Mücke sind gleich schwer.	Sei x das Gewicht des Elefanten und y das Gewicht der Mücke. Sei d der Unterschied. Das bedeutet, dass das Gewicht des Elefanten gleich dem Gewicht einer Mücke ist.
Alle Zahlen sind gleich 0.	Behauptung: Alle Zahlen sind gleich 0. Beweis: Sei a=b. Dann gilt: a = b a² = ab a² - b² = ab - b² (a + b)(a - b) = b(a - b) a + b = b a = 0, q.e.d.
1 = 2	(x Summanden) Differenzieren nach x ergibt: (x Summanden)
2 = 3
3 = 4	Sei x = 3 und y = 4
4 = 5	Sei b beliebig und gelte a = b + 1 Setze a = 4 und b = 4 Da dies eine wahre Aussage ist, gilt auch a = b + 1 und wegen a = b = 4 gilt dann auch 4 = 5.
4 = 5	Sei a = 4 und b = 5 und Es ergeben sich 2 Gleichungen: Multiplikation der linken und rechten Seiten der Gleichungen ergibt:
n = n + 1	Nach der binomischen Formel gilt:
Alle natürlichen Zahlen sind gleich.	Lemma: Seien a und b natürliche Zahlen. Gilt für eine natürliche Zahl n: max(a, b) = n Þ a = b (Daraus folgt sofort die Behauptung: Die Voraussetzung, dass das Maximum mit irgendeiner bestimmten natürlichen Zahl übereinstimmt, ist immer erfüllt. Falls das Lemma stimmt, gilt also für zwei beliebige natürliche Zahlen, dass sie gleich sind.) Beweis des Lemmas: Induktion über n: Induktionsanfang: n = 1: max(a, b) = 1 Þ a = b = 1 ok. Induktionsvoraussetzung: max(a, b) = n gilt Induktionsschritt: max(a, b) = n + 1 Þ max(a-1, b-1) = n Þ mit Induktionsvoraussetzung gilt: a-1=b-1 Þ a = b
ln(2) = 0	ln(2) lässt sich mit Hilfe der folgenden unendlichen Reihe darstellen: Umordnen:
∞ = -1	Behauptung:
p = 0